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ツェラーの公式(Zeller's congruence):曜日計算

ツェラーの公式(ツェラーのこうしき、英: Zeller's congruence)とは西暦(グレゴリオ暦またはユリウス暦)の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー (Christian Zeller) が考案した。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。ウィキペディア(Wikipedia)より

ツェラーの公式の導出

ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式の変形である。

フェアフィールドの公式

1年1月1日(0年13月1日) 〜 y 年 m 月 d の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y − 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 〜 14月28日(閏年は29日)と再定義する。

1年1月1日(0年13月1日)を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。

 1年1月1日(0年13月1日) 〜 1年2月28日(0年14月28日)

  ・・・  31 + 28 (日)

 1年3月1日 〜 ( y − 1 ) 年14月末日(この時点では閏年は考慮しない)

  ・・・  365 ( y − 1 ) (日)

 1年1月1日(0年13月1日) 〜 ( y − 1 ) 年14月末日の閏年の回数

  ・・・  [ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 400 ) ]

      = [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] (日)

 y年3月1日 〜 y 年 ( m − 1 ) 月末日

  ・・・  [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 (日) (以下表を参照)

 y 年 m 月1日 〜 y 年 m 月 d 日

  ・・・  d (日)

3月1日 〜 ( m − 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 の値は完全に一致している。

当月(m)前月(m−1)日数(Σ)[306(m+1)/10]−122
300
433131
546161
659292
76122122
87153153
98184184
109214214
1110245245
1211275275
1312306306
1413337337

従って、1年1月1日 〜 y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、

  31 + 28 + 365 ( y − 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 + d

曜日は7日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、

  h = ( 365y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] d − 428 ) mod 7 ・・・【I】

ツェラーの公式への変形

【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。

  h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d ) mod 7

   = (          y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d ) mod 7

ここで、[ ] (ガウス記号)の性質( [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数)を利用すると、

  h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d ) mod 7

   = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d ) mod 7

   = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d ) mod 7

   = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 35 ( 4 m + 5 ) + 13 m + 8 ) / 5 ] + d ) mod 7

   = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 7 ( 4 m + 5 ) + ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d ) mod 7

さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、 ・ ・ ・

実装してみる

sub getwday{
   my $s = shift;
   my($year, $mon, $mday) = @_;

   if ($mon == 1 or $mon == 2) {
       $year--;
       $mon += 12;
   }
   return int($year + int($year / 4) - int($year / 100) + int($year / 400)
       + int((13 * $mon + 8) / 5) + $mday) % 7;
}