ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、英: Zeller's congruence）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー (Christian Zeller) が考案した。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。
[ウィキペディア（Wikipedia）より|https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F]
!!ツェラーの公式の導出
ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式の変形である。
!フェアフィールドの公式
1年1月1日（0年13月1日） 〜 y 年 m 月 d の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y − 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 〜 14月28日（閏年は29日）と再定義する。

1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。

　1年1月1日（0年13月1日） 〜 1年2月28日（0年14月28日）

　　・・・　　31 + 28 （日）

　1年3月1日 〜 ( y − 1 ) 年14月末日（この時点では閏年は考慮しない）

　　・・・　　365 ( y − 1 ) （日）

　1年1月1日（0年13月1日） 〜 ( y − 1 ) 年14月末日の閏年の回数

　　・・・　　[ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y − 1 ) ) / 400 ) ]

　　　　　　= [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日）

　y年3月1日 〜 y 年 ( m − 1 ) 月末日

　　・・・　　[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 （日）　（以下表を参照）

　y 年 m 月1日 〜 y 年 m 月 d 日

　　・・・　　d （日）
!3月1日 〜 ( m − 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 の値は完全に一致している。
,当月(m),前月(m−1),日数(Σ),[306(m+1)/10]−122
,3,,0,0
,4,3,31,31
,5,4,61,61
,6,5,92,92
,7,6,122,122
,8,7,153,153
,9,8,184,184
,10,9,214,214
,11,10,245,245
,12,11,275,275
,13,12,306,306
,14,13,337,337
従って、1年1月1日 〜 y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、

　　31 + 28 + 365 ( y − 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] − 122 + d


曜日は７日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、

　　h =　( 365y  + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] d − 428 ) mod 7　・・・【I】
!ツェラーの公式への変形
【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。

　　h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

　　　= (　　　　　　　　　　y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

ここで、[ ] （ガウス記号）の性質（ [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数）を利用すると、

　　h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 35 ( 4 m + 5 ) + 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 7 ( 4 m + 5 ) + ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、
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!実装してみる

 sub getwday{
    my $s = shift;
    my($year, $mon, $mday) = @_;
 
    if ($mon == 1 or $mon == 2) {
        $year--;
        $mon += 12;
    }
    return int($year + int($year / 4) - int($year / 100) + int($year / 400)
        + int((13 * $mon + 8) / 5) + $mday) % 7;
 }